Дебют Алексея на сцене состоялся в стенах театра «РАМТ», в постановке «Эраст Фандорин», в которой главную роль исполнял его отец. А Алексей младший исполнил тогда роль Ученика. Первые шаги в кинематографе Веселкин сделал еще в 2003 году, в возрасте 13 лет, снявшись в сериале «Бедная Настя» в роли младшего брата одного из героев ленты Александра, Константина. В этом же году юный актер был приглашен сразу на главную роль в семейный фильм режиссера Ивана Попова «Радости и печали маленького лорда», созданного по произведению «Маленький лорд Фонтлерой» Френсиса Ходжсон Бернетта...
